Двоичная система счисления
Система, в которой считает любой компьютер. Цифр в
ней всего две — и этого достаточно для чего угодно.
- почему у компьютера именно две цифры;
- перевод 2 → 10 и 10 → 2 — повторяем;
- сложение и вычитание в двоичной;
- умножение и деление в двоичной.
почему две
Компьютеру удобно отвечать «да» или «нет»
Внутри машины нет цифр — есть состояния:
есть напряжение или нет, намагничено или нет, отражает или не
отражает.
почему не десять
Различить два состояния надёжно легко. Различить десять уровней
напряжения — трудно: чуть просело питание, и «шесть» стало
«пятью». Поэтому от десятичной внутри машины отказались.
что из этого следует
Любые данные — число, буква, цвет точки, звук — внутри
компьютера записаны цепочкой нулей и единиц. Разные вещи, одна
запись.
устройство системы
Основание 2, цифры 0 и 1
Цифры 2 в двоичной системе нет — ровно так же,
как в десятичной нет цифры «десять».
Каждый разряд влево весит вдвое больше
предыдущего:
| вес разряда | 128 | 64 | 32 | 16 |
8 | 4 | 2 | 1 |
|---|
| степень | 2⁷ | 2⁶ | 2⁵ | 2⁴ |
2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
|---|
| число 1 0 0 1 1 0 1 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
|---|
эту строчку стоит запомнить
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 · 256
Со степенями двойки перевод в десятичную делается
устно: складываем веса тех разрядов, где стоит единица.
10011010₂ = 128 + 16 + 8 + 2 = 154.
приём 1 — повторение
Из двоичной в десятичную: развёрнутая форма
Каждую цифру умножаем на 2 в степени её позиции.
Позиции считаем справа налево, начиная с нуля.
общее правило
an…a₁a₀ = an·2ⁿ + … + a₁·2¹ + a₀·2⁰
Ноль в разряде просто выбрасывает своё слагаемое —
но позицию занимает, и пропустить его нельзя.
приём 2 — повторение
Из десятичной в двоичную: деление с остатком
Делим на 2, пока не получится 0. Остатки читаем
снизу вверх.
где спотыкаются
Читают остатки сверху вниз — и ответ выходит задом наперёд.
Последний остаток — это первая цифра числа.
действие 1
Сложение: вся таблица — четыре строчки
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1
0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 пишем 0, единицу в перенос
а если ещё и перенос пришёл
1 + 1 + 1 = 11₂ пишем 1, единицу в перенос
Больше вариантов не бывает: в разряде складываются
максимум три единицы.
в столбик
1 1 1 ← перенос
1 0 1 1
+ 1 1 0 1
─────────
1 1 0 0 0
действие 2
Вычитание: занимаем у соседа слева
Не хватает — берём единицу у старшего разряда. В нашем
разряде она превращается в 10₂, то есть в две единицы.
в столбик
• • ← отсюда занимали
1 0 1 0 0
− 1 1 1 1
───────────
1 0 1
проверка, которая всегда под рукой
Сложи ответ с вычитаемым — должно получиться уменьшаемое.
101₂ + 1111₂ = 10100₂. Пять секунд, а
ошибку ловит.
действие 3
Умножение: проще, чем в десятичной
Таблицу умножения учить не надо — цифра множителя
либо 0, либо 1.
что делаем
Где у множителя 1 — сносим множимое, сдвинув его влево на
номер разряда. Где 0 — строки нет вовсе. Потом складываем
всё, что снесли.
в столбик
1 0 1 1
× 1 1
─────────
1 0 1 1
1 0 1 1
─────────
1 0 0 0 0 1
действие 4
Деление уголком
Сносим цифры делимого по одной и смотрим, влезает ли
делитель.
правило
Влезает — в частное идёт 1, вычитаем. Не влезает — в
частное идёт 0, сносим следующую цифру.
в столбик
10100 │ 10
├────
│ 1010 ← частное
10
−10
───
0
10
−10
───
0
проверка
Умножь частное на делитель — должно выйти делимое:
1010₂ × 10₂ = 10100₂.
как это спросят
На ВПР это задания 1 и 4
| номер | что спрашивают |
|---|
| № 1 |
Перевод числа из одной системы в другую. В демоверсии это
звучит так: «Переведите десятичное число 78 в восьмеричную
систему счисления. Основание системы писать не
нужно.» |
| № 4 |
Арифметика: «Выполните вычитание: 100110₂ – 1011₂. Ответ
запишите в двоичной системе счисления. Основание системы
писать не нужно.» Бывают и сложение, умножение,
деление. |
Формулировки заданий
процитированы по образцу КИМ ВПР по информатике, 8 класс
(ФГБУ «ФИОКО», fioco.ru).
чего стоит балла
- основание в ответе писать не надо: просто 101010;
- ответ читает машина — лишний пробел или запятая
и балла нет;
- нули в середине не теряем:
100001₂ ≠
10001₂.
Итого — шесть умений
- 2 → 10
развёрнутая форма
- 10 → 2
деление с остатком
- +
1 + 1 = 10, перенос
- −
заём у соседа слева
- ×
сдвиг и сложение
- ÷
уголок
Открываем тренажёр из общей папки. У каждого свои
числа; умение засчитывается, когда решены обе его задачи. Все
шесть — «5», пять — «4», четыре — «3».