Дискретизация: длины и площади — практикум

10 класс, углублённый уровень. Занятие пятнадцатое. Компьютер не может перебрать все точки отрезка — их бесконечно много. Поэтому отрезок режут на n частей, кривую — на звенья ломаной, фигуру — на клетки, и считают по ним: это и есть дискретизация. Чем мельче части, тем точнее ответ.

Часть 1. Тренажёр: как считают по частям

Шесть типов задач, по одной на каждый. Считать в уме или на бумаге: выпиши столбиком, что происходит на каждом шаге цикла. Ответ — всё напечатанное через пробел, так, как печатает Python: вещественное число с точкой (2.0, а не 2), дробная часть через точку, а не через запятую. Ошибся — ниже появится разбор рисунком: таблица шагов и что напечатано, — и кнопка «Новые числа»: реши такую же ещё раз.

Часть 2. Как считают длины и площади

Разбиение отрезка

Отрезок [a; b] делят на n равных частей. Шаг — h = (b - a) / n, деление «/», а не «//»: целое деление потеряет остаток, и части не дойдут до b. Часть номер i — это [a + i·h; a + (i + 1)·h], её середина — a + i * h + h / 2. Цикл — for i in range(n): частей ровно n, сколько бы ни округлялось вещественное h.

Площадь под графиком — прямоугольники

Фигуру под графиком режут на n полосок и каждую заменяют прямоугольником высотой f(x). Точку x можно взять на левом конце части, на правом или в середине. Настоящая площадь под y = x² на [0; 2] — 2.667; при n = 4 левые прямоугольники дают 1.75, правые 3.75, средние 2.625. При n = 1000 средние дают 2.667 — до тысячных точно.

Площадь — трапеции

Верх полоски — не горизонталь, а хорда от f(x) до f(x + h): площадь трапеции (f(x) + f(x + h)) / 2 * h. Для прямой y = k·x + c трапеции точны при любом n; для y = x² на [0; 2] при n = 4 они дают 2.75 — хорда над параболой лежит выше графика.

Длина кривой — ломаная

Кривую заменяют ломаной с вершинами на графике. Звено — гипотенуза: катеты Δx = x₂ − x₁ и Δy = f(x₂) − f(x₁). Ломаная всегда чуть короче кривой и с ростом n приближается к ней: для y = x² на [0; 2] одно звено — 4.472, два — 4.576, четыре — 4.627, тысяча — 4.647.

Площадь фигуры — клетки

Фигуру накрывают сеткой клеток со стороной h и считают клетки, у которых центр внутри фигуры. Площадь ≈ число клеток × h². Круг радиуса 1 при h = 1 выходит квадратом из четырёх клеток — площадь 4; при h = 0.5 — 3.0; при h = 0.1 — 3.16; при h = 0.02 — 3.144, почти π.

Часть 3. Практическая работа: длины кривых и площади фигур

• Все три файла — zadanie1.py, zadanie2.py, zadanie3.py — в одну новую папку.
• Никаких приглашений в input(). Пиши input(), а не input("Введите a, b, n: ") — вывод читает машина.
• Выводи ровно одно число — с тремя знаками после точки: f"{s:.3f}".
• Ответ сверяется с тем же методом при том же n и принимается, если отличается не больше чем на 0.0016. Другой метод — левые прямоугольники вместо средних, трапеции — на малых n даёт другое число и не сдаёт.

0 2 4

2.625

0 2 2

4.576

1 2

3.000

Часть 4. Сдача

1. Три файла лежат в одной твоей папке, отладочные print убраны.
2. В общей папке двойной щелчок по Проверка.bat.
3. «Найти мои файлы» → «Проверить всё».
4. Покажи учителю два экрана: тренажёр наверху этой страницы и итог оболочки.

Оболочка показывает, на каких данных программа ошиблась, что она вывела и что должна была. Исправляй и проверяй снова, попыток сколько угодно. Отметка: три задания — «5», два — «4», одно — «3».