Отделение корней — перебор с шагом
Перебираем отрезки [x; x + 1] с шагом 1 и печатаем те, на концах которых f меняет знак.
Вывод: 
, 
, 
— три отрезка,
на каждом по корню.
Отделить корни — найти отрезки, на каждом из которых лежит ровно один корень. Это первый шаг любого численного решения.
даёт x от −5 до 4, и
последний отрезок — [4; 5]. Напишешь 
— потеряешь
отрезок [b − 1; b] и корень в нём.Подбор с шагом 0.1
Ищем √7 — корень уравнения x² = 7. Шагаем по x с шагом 0.1, пока x² ещё меньше 7: 2.5² = 6.25, 2.6² = 6.76, 2.7² = 7.29 — стоп.
Программа печатает 
.
Ответ — первый x, где условие уже не выполнено: корень, округлённый вверх до десятых. Точность метода — шаг.
— деление «/», результат вещественный.
Если стоп случится на 6.0, Python так и напечатает: 
, а не
. А точность 0.001 таким перебором стоила бы тысяч шагов на каждую
единицу длины.Половинное деление
Корень на [2; 3]. Берём середину c = 2.5: f(2.5) = −0.875, f(2) = −5 — знак один, корня слева нет, он в правой половине: a = 2.5.
Дальше [2.5; 3] → c = 2.75 → … пока отрезок не станет короче 0.001.
Ответ: 
.
Каждый шаг вдвое укорачивает отрезок с корнем. Остаётся та половина, на концах которой f разного знака.
, а не 
: если
середина попала ровно в корень, f(c) = 0, и произведение равно нулю. Со знаком
программа решит «корень справа» и уйдёт от него.
, а не просто
: произведение не зависит от того, растёт f или падает.
Ответ — середина последнего отрезка: от корня не дальше половины точности.Вещественные числа
→ 
: деление «/» всегда даёт вещественное
число. Целое деление — 
.
→ 
: 0.1 в двоичной
записи — бесконечная дробь, хранится приближение.
→ ровно три знака: 
,
.
→ : лишние нули round не
дописывает.
Вещественные числа не сравнивают через ==. Цикл пишут через
«длина больше точности»: 
.
или . Шаг 0.1 —
неточный: после десяти шагов x = 0.9999999999999999, а не 1. Поэтому в подборе
считают целый k и делят: 
.Что делаем сегодня
- Тренажёр — шесть задач: отделение корней, подбор с шагом, половинное деление по шагам, сколько шагов, сколько точек с шагом, смена знака по таблице.
- Задание 1 — отделение корней уравнения x³ + p·x + q = 0: отрезки [x; x + 1], где f меняет знак.
- Задание 2 — корень уравнения x³ + x = N половинным делением, три знака после точки.
- Задание 3 — все корни x³ + p·x + q = 0 на отрезке: отделение, потом уточнение каждого.
- Проверка оболочкой —
: корень принимается,
если он отличается от точного не больше чем на 0.0016.
Отметка: три задания — «5», два — «4», одно — «3». Все три файла — в одну новую папку.